Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆方程为，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，，由此可求出椭圆方程．
（II）?，若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
可设直线l：y=kx+m（k≠0），由得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后利用根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（III）由题设条件可推出，即，由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即，要使k存在，只需，由此可推导出n的取值范围．
解答：解：（I）设椭圆方程为，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，解得
∴所求椭圆方程为（4分）
（II）∵条件等价于
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0得4k²+3＞m²．（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x，y）
则．
又∵∴
解得：m=-3-4k²．（8分）
（将点的坐标代入亦可得到此结果）
由4k²+3＞m²得，4k²+3＞（3+4k²）²得，4k²＜-2，这是不可能的．
故满足条件的直线不存在．（10分）
（III）据（II）有，即，
解得，m=-n（3+4k²），
由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即，要使k存在，只需
∴n的取值范围是（14分）
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系和椭圆性质的运用，解题时要认真审题，仔细解答，恰当地选取公式．