Question

在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=8，则△ABC面积的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的两等式代入得到cosC=，利用同角三角函数间的基本关系得到cotC=，把表示出的cosC代入，整理后根据三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系变形，用tanC表示出三角形ABC的面积S，要求面积S的最大值，即要求tanC的最大值，而cosC在（0，90°）为减函数，tanC为增函数，故cosC取得最小值，tanC就取得最大值，根据余弦定理表示出的cosC得到，a=b时cosC取得最小值，由a与b的关系式求出a=b=2，即三角形ABC为边长为2的等边三角形时面积最大，根据边长为2即可求出此时三角形ABC面积，即为面积的最大值．
解答：解：令AC=b，BC=a，AB=c，则c=2，a²+b²=8，
根据余弦定理得：cosC==，
∴cotC====，
即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC单调增，
而cosC=，当且仅当a=b时，cosC最小，
又cosC单调减，cosC最小时，tanC最大，又a²+b²=8，
则当a=b=2，即△ABC为等边三角形时，△ABC面积最大，最大面积为×2²=．
故答案为：
点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，余弦、正切函数的单调性，基本不等式以及三角形的面积公式，利用了转化的思想，熟练掌握公式及余弦定理是解本题的关键．