Question

（本小题满分16分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n＝5S_n＋1成立，记b_n＝ (n∈N*)         

（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；

（2）记c_n＝b_2n－b_2n−1 (n∈N*)  ,  设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜；  

（3）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；

若不存在，请说明理由；

Answer 1

（1）当时，a₁＝5S₁＋1, ∴a₁＝－                                                                 （1分）

又   ∴a_n+1－a_n＝5a_n+1 即 ＝－

∴数列是首项为a₁＝－     ，公比为q＝－的等比数列，                   （3分）

∴a_n＝(－)ⁿ，  b_n＝ (n∈N*)                                    （5分）

（2）由（1）知b_n＝＝4＋   得

c_n＝b_2n－b_2n−1＝＋＝＝＜＝           （7分）

又  b₁＝3,  b₂＝,  ∴ c₁＝,   ,  所以当时，T₁＜，                             （8分）

当时，T_n＜＋15(＋＋…＋)＝＋15·＜＋＝＜            （10分）

（3）不存在正整数，使得成立。                                            （11分）

证明：由b_n＝4＋       

∵ b_2k−1＋b_2k＝8＋＋＝8＋－＝8－＜8      （13分）

∴当n为偶数时，设    

∴                                 （14分）

当n为奇数时，设

∴        （15分）

∴对于一切的正整数n，都有     

    ∴不存在正整数，使得成立。                                              (16分)