题目内容

AB是过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1， $数学公式$ ，求抛物线及直线AB方程．

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（2分）
则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（4分）
而若设过焦点（ $\text{[math]}$ ，0）的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程为：y=k（x- $\text{[math]}$ ）
又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
$\text{[math]}$ ，?x²-（ $\text{[math]}$ +p）x+ $\text{[math]}$ =0
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ．
得 $\text{[math]}$ ，…（6分）
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
抛物线方程为y²=x．…（8分）
设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²由于直线AB过点（ $\text{[math]}$ ，0），设直线AB为y=tanθ（x- $\text{[math]}$ ），
联立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+ $\text{[math]}$ p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=（ $\text{[math]}$ ×p）²-4× $\text{[math]}$
=4p²（tan²θ+1）× $\text{[math]}$
那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴θ=60⁰或120⁰，
得 $\text{[math]}$ ，
所以AB方程为 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表达式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，则抛物线方程可得．再由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，从而利用特殊角的三角函数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出AB方程．
点评：本题主要考查了抛物线的应用、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．对于抛物线的焦点弦问题常借助抛物线的定义来解决，属于基础题．