Question

AB是过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1，|BF|=

1

3

，求抛物线及直线AB方程．

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表达式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，则抛物线方程可得．再由|AB|=

2p

sin2θ

=

4

3

，得 sin2θ=

3

4

，从而利用特殊角的三角函数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出AB方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 |AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，…（2分）
则|AF|+|BF|=x1+x2+p=

4

3

，
∴x1+x2=

4

3

-p，…（4分）
而若设过焦点（

p

2

，0）的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程为：y=k（x-

p

2

）
又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
 

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，⇒x²-（

2p

k

+p）x+

p2

4

=0
∴x1•x2=

p2

4

，
由|AF|•|BF|=x1•x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=

1

3

．
得 

p2

2

+

p

2

•(

4

3

-p)=

1

3

，…（6分）
即

2p

3

=

1

3

，
∴p=

1

2

，
抛物线方程为y²=x．…（8分）
设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
由于直线AB过点（

p

2

，0），设直线AB为y=tanθ（x-

p

2

），
联立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+

1

4

p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x ₂
=（

tan 2θ +2

tan 2θ

×p）²-4×

p2

4

=4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

=

4p2

sin 4θ

．
∴|AB|=

2p

sin2θ

，
由|AB|=

2p

sin2θ

=

4

3

，得 sin2θ=

3

4

，
∴sinθ=±

3

2

，∴θ=60⁰或120⁰，
得 k=tanθ=±

3

，
所以AB方程为 y=±

3

(x-

1

4

)．…（12分）

点评：本题主要考查了抛物线的应用、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．对于抛物线的焦点弦问题常借助抛物线的定义来解决，属于基础题．