Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q＞1，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，且4是a₂与a₄的等比中项，
（1）求数列{a_n}的通项公式；    
（2）设b_n=an2+log₂ an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=（a₂+a₄）²=100，a_n＞0，（n∈N^*），知a₂+a₄=10，由4是a₂与a₄的等比中项，知a₂a₄=16，由此求出a₂，a₄，从而能够求出an=2n-1．
（2）由an=2n-1，知b_n=an2+log2 an=4^n-1+（n-1），由此利用分组求和法能够求出数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1，
由已知得a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=（a₂+a₄）²=100，
∵a_n＞0，（n∈N^*），
∴a₂+a₄=10，
∵4是a₂与a₄的等比中项，
∴a₂a₄=4²=16，
∴a₂，a₄是方程x²-10x+16=0的两个根，
∵q＞1，∴a₂=2，a₄=8，
∴

a1q=2 a1q3=8

，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴b_n=an2+log₂ an=4^n-1+（n-1），
∴数列{b_n}的前n项和
S_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．