题目内容

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n= $数学公式$ ，记数列{b_n}的前n项和S_n，求证：S_n≤ $数学公式$ ．

（1）解：∵a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，
又∵a₃+a₅=5，q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，解得q= $\text{[math]}$ ，
∴a_n=2^5-n；
（2）证明：b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
∴S_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
即S_n≤ $\text{[math]}$ 成立
分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃与a₅的等比中项为2，即可求出a₃和a₅，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先把（1）的结论代入整理出数列{b_n}的通项公式，求和，即可证得结论．
点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项法，是对基础知识的考查，属于中档题．