题目内容

若椭圆E1：
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1和椭圆E2：
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1满足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（2，
6
)且与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）设出与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程为：
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1，结合题目条件可求得a2=16，b2=8；
（Ⅱ）①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，不存在时可求得点P的坐标，存在时设出直线l的方程为：y=kx，P（x，y），由A（x1，y1），B（x2，y2）则
y1=kx1
x
2
1
4
+
y
2
1
2
=1
，从而可得
x
2
1
=
4
1+2k2
y
2
1
=
4k2
1+2k2
，于是有：
|OA|=
2
1+k2
1+2k2
，同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
，又点P在l上，则k=
y
x
，代入即可求得P点的轨迹方程；
②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=4，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=4+
4
1+2k2
，从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）设与
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1．
则有
2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
…（3分）
解得a2=16，b2=8．
所求方程是
x2
16
+
y2
8
=1．…（4分）
（Ⅱ）  ①当射线l的斜率不存在时A(0，±
2
)，B(0，±2
2
)，
设点P坐标P（0，y0），则y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）则
y1=kx1
x
2
1
4
+
y
2
1
2
=1

得
x
2
1
=
4
1+2k2
y
2
1
=
4k2
1+2k2

∴|OA|=
2
1+k2
1+2k2
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
…（7分）
又点P在l上，则k=
y
x
，且由x2+y2=
8(1+k2)
1+2k2
=
8(1+
y2
x2
)
1+2
y2
x2
=
8(x2+y2)
x2+2y2
，
即所求方程是
x2
8
+
y2
4
=1．
又∵（0，±2）适合方程，
故所求椭圆的方程是
x2
8
+
y2
4
=1．…（9分）
②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=
2
•2
2
=4，当l的斜率存在时，|OA|•|OB|=
8(1+b2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2
，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为2
2
，离心率为e1=
2
2
，椭圆C2与C1有共同的短轴．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若C2与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e2的取值范围．
如图，已知椭圆E1方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
1
2
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
k1
k2
=
b2
a2
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
已知椭圆E1：
x2
10
+
2y2
5
=1 E2：
x2
a2
+
2y2
b2
=1(a＞b＞0)．E1与E2有相同的离心率，过点F（-
3
，0）的直线l与E1，E2依次交于A，C，D，B四点（如图）．当直线l过E2的上顶点时，直线l的倾斜角为
π
6
．
（1）求椭圆E2的方程；
（2）求证：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直线l的方程．
在平面直角坐标系xoy（O为坐标原点）中，椭圆E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆E2：x2+y2=a+b上，且椭圆的离心率是
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆E1和圆E2的方程；
（Ⅱ）是否存在经过圆E2上的一点P（x0，y0）的直线l，使l与圆E2相切，与椭圆E1有两个不同的交点A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出点P的横坐标x0的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为2
2
，离心率为e1=
2
2
，椭圆C2与C1有共同的短轴．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若C2与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e2的取值范围．

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