Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为2

2

，离心率为e1=

2

2

，椭圆C₂与C₁有共同的短轴．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e₂的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据题意可推断出椭圆方程中的长半轴，进而根据题意列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c，则椭圆C₁的方程可得．
（II）设C₂的方程为

x2

m

+y2=1(m＞1)，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合方程有解的条件即可求得m的取值范围，从而求得椭圆的离心率e₂的取值范围，解决问题．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a= 2 c a = 2 2

，（2分）
所以c=1，b=1，（4分）
所以C₁的方程为：C1：

x2

2

+y2=1（6分）
（Ⅱ）椭圆C₂与C₁有共同的短轴，所以设C₂的方程为

x2

m

+y2=1(m＞1)，（8分）
联立方程：

y=x+2 x2 m +y2=1

得，(1+m)x2+4mx+3m=0，

△=4(m2-3m)＞0 m＞1

，（10分）
（没写m＞1的，扣1分）
所以m＞3，（12分）
而e2=

m-1 m

=

1- 1 m

，（13分）
所以e2=

1- 1 m

∈(

6

3

，1)．（14分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单性质，解答关键是利用方程思想求得m的范围，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用．