Question

如图,四棱柱中,.为平行四边形,, , 分别是与的中点.

(1)求证:;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)见解析 (2)

试题分析：(1) 先证明△ADE为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE⊥DE ，CE⊥DD₁，最后得到CE⊥平面DD₁E, 即可证明出CE⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA₁分别为轴,轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量，，再利用夹角公式求出二面角的平面角的余弦值.
(1)AD="AE," ∠DAB=60° ∴△ADE为正△
在△CDE中,由余弦定理可求CE=.
又.由勾股定理逆定理知CE⊥DE
又DD₁⊥平面ABCD,   CE平面ABCD. ∴CE⊥DD₁
∴CE⊥平面DD₁E, 又DF平面DD₁E. ∴CE⊥DF.
(2)以直线AB, AA₁分别为轴,轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),
D₁(),  C
可求平面AEF的一个法向量为
平面CEF的一个法向量为
∴平面角满足
又为纯角 ∴
注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.