Question

如图，已知双曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．

(1)在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；

(3)求证：圆内的点都不是“型点”．

Answer 1

【解答】：（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；

（2）直线与有交点，则

，若方程组有解，则必须；

直线与有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”。

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线交于点，则

直线与圆内部有交点，故

化简得，。。。。。。。。。。。。①

若直线与曲线有交点，则

若，则

化简得，。。。。。②

由①②得，

但此时，因为即①式不成立；

当时，①式也不成立

综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线和有交点，

即圆内的点都不是“型点”．