Question

【题目】函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（　　）

A. n（n∈Z） B. 2n（n∈Z）

C. 2n或（n∈Z） D. n或（n∈Z）

Answer 1

【答案】C

【解析】先考虑的情形。

因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，

所以当时，则， ；

当时，则， 。

①当时，由解得或，

即当时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点。

②当时，只有当直线y=x+a与f（x）=x2在区间[0,1)上相切，与的图象在[1,2]上只有一个交点时才满足条件。

由消去y整理得，则得。可验证，当时，直线与的图象在[1,2]上只有一个交点，满足条件。

③当时，结合图象可得不满足条件。

综上可得直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0,2]上有两个不同公共点时的值为0和。

又函数f（x）是偶函数且周期为2，故实数的值为或。

选C。