Question

18．一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是$\sqrt{2}$，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$，12，4π
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，4$\sqrt{3}$，6π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$，6，$\sqrt{6}$π
• D． $\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$π

Answer 1

分析 由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．

解答 解：由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．
∴该多面体的体积=$（\sqrt{2}）^{3}-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
表面积=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=4$\sqrt{3}$．
外接球面的表面积=$4π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π．
故选：B．

点评 本题考查了正方体与正四面体的三视图及其体积表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．