Question

（08年正定中学一模理）   （12分）  已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C₁的方程；

（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F_2­，直线过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围.

Answer 1

解析：（1），

        ∵直线l：x－y+2=0与圆x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.       

        ∴椭圆C₁的方程是

………………….(3分)

（2）∵MP＝MF，

∴动点M到定直线l₁：x＝－1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，                                     

 ∴点M的轨迹C₂的方程为。      …………………………….(7分)

（3）Q（0，0），设，

 

，       

由得  ，

，化简得，

当且仅当时等号成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴当.  

         故的取值范围是.………………………….(12分)