Question

（08年正定中学一模理）    （12分）        

     设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有，记S_n为数列{a_n}的前n项和.

  

   （1）求数列{a_n}的通项公式；

   （2）若（为非零常数，n∈N⁺），问是否存在整数，使得对任意 n∈N⁺，都有b_n+1>b_n.

Answer 1

解析:（1）在已知式中，当n=1时，

    ∵a₁>0   ∴a₁=1………………………………………………………………1分

    当n≥2时，  ①

      ②

    ①－②得，

    ∵a_n>0  ∴==2S_n－a_n

    ∵a₁=1适合上式…………………………3分.

          当n≥2时， =2S_n－1－a_n－1  ④

        ③－④得－=2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1=2a_n－a_n+ a_n－1= a_n+ a_n－1

        ∵a_n+a_n－1>0   ∴a_n－a_n－1=1

∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a­_n=n………………5分

   （2）∵

       

∴ ⑤………………………………………………………….7分

当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为  ⑥

依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分

当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为  ⑦

依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，

∴……………………………………………………………………………..11分

∴

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有b_n+1>b_n……………………………12分