题目内容
如图，两个工厂A，B（视为两个点）相距2km，现要在以A，B为焦点，长轴长为4km的椭圆上某一点P处建一幢办公楼．据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP成反比，比例系数是1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP也成反比，比例系数是4．办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP=xkm．（I）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式；
（II）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？（结果保留一位小数）
分析：（I）根据椭圆的定义可知PA+PB=4，从而得到PB，利用办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，即可列出函数关系式；
（II）对函数y的表达式进行变形，构造积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值即可，注意等号成立的条件．
（II）对函数y的表达式进行变形，构造积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值即可，注意等号成立的条件．
解答：解：（I）∵办公楼P在以A，B为焦点，长轴长为4km的椭圆上，则有PA+PB=4，故PB=4-x，
∵办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP也成反比，比例系数是4，
∴办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y=
+
，（1≤x≤3），
故“总噪音影响度”y关于x的函数关系式为y=
+
，（1≤x≤3）；
（II）由（I）可知，y=
+
，（1≤x≤3），
∴y=
+
=（
+
）[x+（4-x）]×
=
（5+
+
）
≥
（5+2
）=
，
当且仅当
=
，即x=
≈1.3时取“=”，
∴当x≈1.3时，y取最小值为
，
故当AP为1.3km时，“总噪音影响度”最小．
∵办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP也成反比，比例系数是4，
∴办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y=
| 1 |
| x |
| 4 |
| 4-x |
故“总噪音影响度”y关于x的函数关系式为y=
| 1 |
| x |
| 4 |
| 4-x |
（II）由（I）可知，y=
| 1 |
| x |
| 4 |
| 4-x |
∴y=
| 1 |
| x |
| 4 |
| 4-x |
| 1 |
| x |
| 4 |
| 4-x |
| 1 |
| 4 |
=
| 1 |
| 4 |
| 4-x |
| x |
| 4x |
| 4-x |
≥
| 1 |
| 4 |
|
| 9 |
| 4 |
当且仅当
| 4-x |
| x |
| 4x |
| 4-x |
| 4 |
| 3 |
∴当x≈1.3时，y取最小值为
| 9 |
| 4 |
故当AP为1.3km时，“总噪音影响度”最小．
点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．建立数学模型后应用了基本不等式求最值．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．
练习册系列答案
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处建一幢办公楼（异于A、B点）.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1；办公楼受工厂B的“噪音影响度” 与距离BP的平方也成反比，比例系数是4。办公楼受A、B两厂的“总噪音影响度”y是为受A、B两厂“噪音影响度”之和，设AP为x(Km).
（1）求“总噪音影响度” y关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；
如图，两个工厂A，B相距2 
km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2 km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比
，比例系数是1，办公楼受工厂B
的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为x km.