Question

如图，两个工厂A，B相距2km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB．据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm．
（Ⅰ）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；
（Ⅱ）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接OP，设∠AOP=α，在△AOP中，由余弦定理得x²，在△BOP中，由余弦定理得BP²，从而得BP与x的关系，所以，“总噪音影响度”y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

；定义域由∠α的取值得出x的取值范围即可．
（Ⅱ）用换元法，令t=x²，则y=

1

t

+

4

10-t

(3≤t≤7)；对y求导，令y'=0，得t=

10

3

时，函数有最小值，
即AP=

30

3

（km）时，“总噪音影响度”最小即可．

解答：解：（Ⅰ）连接OP，设∠AOP=α，则

π

3

≤α≤

2π

3

；
在△AOP中，由余弦定理得x²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²=1²+2²-2×1×2cos（π-α）=5+4cosα，
∴BP²=10-x²．则y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

；
∵

π

3

≤α≤

2π

3

，则-

1

2

≤cosα≤

1

2

，∴3≤5-4cosα≤7，
∴

3

≤x≤

7

；
所以，y=

1

x2

+

4

10-x2

，

3

≤x≤

7

．
（Ⅱ）令t=x²，y=

1

t

+

4

10-t

(3≤t≤7)；
∴y′=

-1

t2

+

4

(10-t)2

=

(t+10)(3t-10)

t2(10-t)2

；
由y'=0，得t=

10

3

，或t=-10（舍去），
当3＜t＜

10

3

，y′＜0，函数在(3，

10

3

)上单调递减；
当

10

3

＜t＜7，y′＞0，函数在(

10

3

，7)上单调递增；
∴当t=

10

3

时，即x=

30

3

时，函数有最小值，
也即当AP为

30

3

km时，“总噪音影响度”最小．

点评：本题考查了余弦定理的应用和导数在求函数最值问题中的应用；用求导法求函数最值时，要先求导，再令导数等于0，并判断导数等于0的点是否为最值点．