Question

7．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x³-1，h（x）=2x，φ（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（　　）

• A． α＞β＞γ
• B． β＞α＞γ
• C． γ＞α＞β
• D． β＞γ＞α

Answer 1

分析 由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项

解答 解：①∵g（x）=x³-1，∴g′（x）=3x²，由g（x）=g′（x），得x³-1=2x²，
∵2x²＞0，（x=0时不成立），∴x³-1＞0，∴x＞1，∴α＞1．
②∵h（x）=2x，∴h′（x）=2，由h（x）=h′（x），解得x=1，∴β=1．
③∵φ（x）=ln（x+1），∴φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$，由φ（x）=φ′（x），得到ln（x+1）=$\frac{1}{x+1}$，
令m（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，则m′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，因此函数m（x）在（-1，+∞）单调递增．
∵m（0）=-1＜0，m（1）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，∴0＜γ＜1．
综上可知：α＞β＞γ．
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性，属于中档题．