Question

4．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第-组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．
（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；
（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，求出第五组的频率和$\frac{频率}{组距}$，补全频率分布直方图即可；
根据中位数两边频率相等，求出中位数的值；
（2）计算用分层抽样法从第3、4、5组抽取6人时每组应抽取的人数，
利用列举法求出基本事件数与对应的概率值．

解答 解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1-0.03×5-0.05×5-0.06×5-0.04×5=0.1，
又$\frac{频率}{组距}$=$\frac{0.1}{5}$=0.02，
补全频率分布直方图如图所示
∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，
0.40+0.06×5=0.70＞0.5，
∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，
则（x-85）×5+0.40=0.50，
解得x=87；
估算这300名学生数学成绩的中位数87；
（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，
第5组有学生300×0.02×5=30人；
用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，
第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；
从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为
ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，
第4组中至少有1人被抽取的基本事件为
aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，
故所求的概率为P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．