Question

如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，．

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.

 

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析 （3）

【解析】（1）证明：连结，，分别为的中点，∴.又，且.∴四边形是平行四边形，

即. ∴. （2） 证明：，为圆柱的母线，所以

因为垂直于圆所在平面，故，

又是底面圆的直径，所以，，所以，

由，所以.

（3）【解析】
鱼被捕的概率等于四棱锥与圆柱的体积比，

由，且由（1）知.∴，

∴ ，∴.因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，

则，，

∴：，即 .