Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

 

Answer 1

（1）当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30

（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】【解析】
(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S＝

＝

＝．

故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30．

答：小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，

故v2＝900－＋．

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，

解得t≥．

又t＝时，v＝30．

故v＝30时，t取最小值，且最小值等于．

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．