Question

设函数f0(x)=x2ex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N⁺．
（I）求f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）的表达式；
（II）猜想f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）由函数f0(x)=x2ex，利用导数的性质，能够依次求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x）的表达式．
（II）由f0(x)=x2ex，f₁（x）=（x²+2x）e^x，f₂（x）=（x²+4x+2）e^x，f₃（x）=（x²+6x+6）e^x，f₄（x）=（x²+8x+12）e^x，猜想f_n（x）=[x²+2nx+n（n-1）]e^x．再用数学归纳法证明．

解答：解：（I）∵函数f0(x)=x2ex，
∴f1(x)=f0′(x)=2xe^x+x²e^x=（x²+2x）e^x，
f2(x)=f1′(x)=（2+2x）e^x+（2x+x²）e^x=（x²+4x+2）e^x，
f3(x)=f2′(x)=（2x+4）e^x+（x²+4x+2）e^x=（x²+6x+6）e^x，
f4(x)=f3′(x)=（2x+6）e^x+（x²+6x+6）e^x=（x²+8x+12）e^x．
（II）∵f0(x)=x2ex，
f₁（x）=（x²+2x）e^x，
f₂（x）=（x²+4x+2）e^x，
f₃（x）=（x²+6x+6）e^x，
f₄（x）=（x²+8x+12）e^x，
∴猜想f_n（x）=[x²+2nx+n（n-1）]e^x．
下面用数学归纳法证明：
①n=1时，f₁（x）=[x²+（2×1）x+1×（1-1）]e^x=（x²+2x）e^x，成立；
②假设n=k时，成立，
即fk(x)=[x2+2kx+k(k-1)]e^x，
则当n=k+1时，
f_k+1（x）=fk′(x)=（2x+2k）e^x+[x²+2kx+k（k-1）]e^x
=[x²+2（k+1）x+k（k+1）]e^x，也成立，
由①②，得f_n（x）=[x²+2nx+n（n-1）]e^x．

点评：本题考查导数的应用和数学归纳法的证明，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，认真分析，注意总结，合理地进行猜想．