Question

（2012•房山区一模）设函数f0(x)=1-x2，f1(x)=|f0(x)-

1

2

|，fn(x)=|fn-1(x)-

1

2n

|，（n≥1，n∈N），则方程f1(x)=

1

3

有

4

个实数根，方程fn(x)=(

1

3

)n有

2ⁿ⁺¹

个实数根．

Answer 1

分析：当n=1时，f1(x)=

1

3

即|

1

2

-x²|=

1

3

，求得方程f1(x)=

1

3

有4个解．当n=2时，方程即 f1(x)=

5

36

，或 f1(x)= 

13

36

．而由上可得 f2(x)=(

1

3

)2有2³个解．
当n=3时，方程即 f2(x)=

35

216

或 f2(x)=

19

216

，而由上可得f3(x)=(

1

3

)3有2⁴个解．依此类推，方程fn(x)=(

1

3

)n 的解的个数．

解答：解：当n=1时，f1(x)=

1

3

 即|

1

2

-x²|=

1

3

，解得 x²=

5

6

，或 x²=

1

6

．∴x=±

5 6

，或 x=±

6

6

，故方程f1(x)=

1

3

有4个解．
当n=2时，方程f2(x)=(

1

3

)2 即|f1(x)-

1

22

|=

1

32

，即 f1(x)=

5

36

，或 f1(x)= 

13

36

．而由上可得f1(x)=

5

36

有4个解，f1(x)= 

13

36

 有4个解，故 f2(x)=(

1

3

)2有2³个解．
当n=3时，方程f3(x)=(

1

3

)3，即|f2(x)-

1

23

|=

1

33

，即 f2(x)=

35

216

 或 f2(x)=

19

216

，而由上可得f2(x)=

35

216

 有2³个解，f2(x)=

19

216

也有2³个解，
故f3(x)=(

1

3

)3有2⁴个解．
…
依此类推，方程fn(x)=(

1

3

)n有 2ⁿ⁺¹个解．
故答案为 4，2ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，属于中档题．