Question

2．已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．
（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
（Ⅱ）a=$\sqrt{2}$，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．
（Ⅱ）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答 解：（Ⅰ）由条件知点M在圆O上，
∴1+a²=4
∴a=±$\sqrt{3}$
当a=$\sqrt{3}$时，点M为（1，$\sqrt{3}$），k_OM=$\sqrt{3}$，k切线=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此时切线方程为：y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）
即：x+$\sqrt{3}$y-4=0
当a=-$\sqrt{3}$时，点M为（1，-$\sqrt{3}$），k_OM=-$\sqrt{3}$，k切线=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此时切线方程为：y+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）
即：x-$\sqrt{3}$y-4=0
∴所求的切线方程为：x+$\sqrt{3}$y-4=0或x-$\sqrt{3}$y-4=0
（Ⅱ）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
直线BD的方程为y-$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{k}$（x-1），
由弦长公式l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$
可得：AC=2$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+2\sqrt{2}k+2}{{k}^{2}+1}}$
BD=2$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-2\sqrt{2}k+3}{{k}^{2}+1}}$
∵AC²+BD²=4（$\frac{3{k}^{2}+2\sqrt{2}k+2}{{k}^{2}+1}$+$\frac{2{k}^{2}-2\sqrt{2}k+3}{{k}^{2}+1}$）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2$\sqrt{10}$
即AC+BD的最大值为2$\sqrt{10}$

点评 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x-a）（x₀-a）+（y-b）（y₀-b）=r²（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．