Question

对于x∈R，不等式2x2-a

x2+1

+3＞0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：将不等式分离出参数a，将不等式恒成立转化为求函数的最小值；将函数中根号部分换元，利用函数的单调性求出最小值，求出a的范围．

解答：解：2x2-a

x2+1

+3＞0恒成立，
即a＜

2x2+3

x2+1

恒成立，
下面只要求y=

2x2+3

x2+1

的最小值即可，
令

x2+1

=t（t≥1）则x²=t²-1，
所以y=

2t2+1

t

=2t+

1

t

，
∵y=2t+

1

t

在【1，+∞）单增，
所以当t=1时，y有最小值3，
所以a＜3，
故答案为：a＜3．

点评：本题考查解决不等式恒成立常用的方法是分离参数转化为求函数的最值、考查通过换元求函数最值需要注意的是新变量的范围．