题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）已知a，b∈（-1，1），且满足 $数学公式$ ，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求f（a），f（b）的值．

解：（1）若使函数 $\text{[math]}$ 的解析式有意义，
自变量x须满足 $\text{[math]}$
∴-1＜x＜1，函数定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）= $\text{[math]}$ =-f（x）
故f（x）为奇函数
（2）函数在定义域上单调递增
证明：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1
∵f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）单调递增
（3）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴f（a）+f（b）=1…①
∴ $\text{[math]}$ =f（a）-f（b）
又∵ $\text{[math]}$ ，
f（a）-f（b）=2…②
解得f（a）= $\text{[math]}$ ，f（b）=- $\text{[math]}$
分析：（1）先分析函数的定义域是否关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．
（2）任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，进而判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
（3）由（1）中函数的奇偶性，结合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可构造关于f（a），f（b）的方程组，解方程组可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的定义及证明，函数奇偶性的定义及证明，函数的定义域，函数的值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．