Question

如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c²，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析：设P的极点坐标为（ρ，θ），进而可分别）∠POM，∠NOM，OM，PM，ON，PN．根据四边形PMON的面积公式可得动点P的轨迹的极坐标方程化简后用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为即可得到答案．

解答：解：设P的极点坐标为（ρ，θ），
∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
OM=ρcos（α-θ），PM=ρsin（α-θ），
ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），
四边形PMON的面积
S=

1

2

OM•PM+

1

2

ON•PN=

ρ2

2

[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]
依题意，动点P的轨迹的极坐标方程是：

ρ2

2

[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c²
用倍角公式化简得

ρ2

4

[sin2（α-θ）+sin2（α+θ）]=c²
用和差化积公式化简得

ρ2

2

sin2αcos2θ=c²
即ρ2cos2θ=

2c2

sin2α

．
用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为
ρ2(cos2θ-sin2θ)=

2c2

sin2α

．即x2-y2=

2c2

sin2α

．
这个方程表示双曲线由题意，
动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分．

点评：本题主要考查了根据极点坐标求轨迹的方程问题．此类题常涉及三角函数的问题，故应熟练记忆三角函数的公式．