Question

4．已知f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a，对任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，求a的取值范围．

Answer 1

分析 f（x）＜3a²，x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a＜3a²，化为：x³-$\frac{1}{2}$x²-2x＜3a²-a．对任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，可得3a²-a＞$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：f（x）＜3a²，x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+a＜3a²，化为：x³-$\frac{1}{2}$x²-2x＜3a²-a，
∵对任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，
∴3a²-a＞$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$，
令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]．
∴g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
当x∈$[-1，-\frac{2}{3}）$时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当x∈$（-\frac{2}{3}，1）$时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
g（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$，g（2）=2，可得g（x）_max=2．
∴3a²-a＞2，
解得a＞1或a$＜-\frac{2}{3}$．
可得：a的取值范围是a＞1或a$＜-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．