题目内容
甲．乙两个围棋队各派出三名选手A．B．C和a．b．c并按A．B．C和a．b．c的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知A胜a的概率为
，而B．C和a．b．c五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；
（Ⅱ）用ξ表示到比赛结束时选手A所胜的盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
| 3 |
| 5 |
（Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；
（Ⅱ）用ξ表示到比赛结束时选手A所胜的盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设到比赛结束时共比赛三盘为事件M，再设在这比赛过程中，A胜出为事件A，a胜为事件a，由P（M）=P（A+a）=P（A）+P（a），能求出结果，
（Ⅱ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出到比赛结束时选手AA所胜的盘数分布列和数学期望Eξ．
（Ⅱ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出到比赛结束时选手AA所胜的盘数分布列和数学期望Eξ．
解答：
解：（I）设到比赛结束时共比赛三盘为事件M，再设在这比赛过程中，A胜出为事件A，a胜出为事件a则P(M)=P(A+a)=P(A)+P(a)=
×
×
+
×
×
=
，
（II）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=
，
P(ξ=1)=
×
=
，
P(ξ=2)=(
)2×
=
，
P(ξ=3)=(
)3=
，
∴ξ的分布列如下：
ξ的数学期望Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 79 |
| 250 |
（II）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=
| 2 |
| 5 |
P(ξ=1)=
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 25 |
P(ξ=2)=(
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 18 |
| 125 |
P(ξ=3)=(
| 3 |
| 5 |
| 27 |
| 125 |
∴ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P（ξ） |
|
|
|
|
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 25 |
| 18 |
| 125 |
| 27 |
| 125 |
| 147 |
| 125 |
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分列布和数学期的求法，解题时要认真审题，是中档题．
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