Question

已知数列{a_n}满足a_n=.

（1）试比较a_n与a_n+1的大小.

（2）a_n=(n+1)()ⁿ，试判断此数列的增减性和有界性.

（3）在(2)中有无最大项?若有，求出最大项和最大项项数；若没有，说明理由.

Answer 1

思路分析：（2）因a_n是n的函数，难点在a_n是一个一次函数（n+1）与一个指数函数（）ⁿ的积，所以从一次函数或指数函数增减性看，一增一减积不确定，但n∈N^*，不妨试从比较a_n与a_n+1的大小着手.

解：（1）∵a_n=为单调递增数列，

∴a_n+1＞a_n.

事实上,a_n+1-a_n=＞0.

 

（2）∵a_n+1-a_n=(n+2)()ⁿ⁺¹-(n+1)()ⁿ=()ⁿ·,

 

∴当n＜9时，a_n+1-a_n＞0， 即a_n+1＞a_n；

 

当n=9时，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；

 

当n＞9时，a_n+1-a_n＜0,即a_n+1＜a_n.

 

∴a₁＜a₂＜a₃＜…＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞….

 

∴当1≤n≤9，n∈N时，{a_n}单调递增，当n≥10时，{a_n}单调递减，且|a_n|≤|a₉|=|a₁₀|=10·()⁹.

∴{a_n}有界.

（3）由{a_n}的单调性知数列{a_n}有最大项a₉或a₁₀，其值为10·（）⁹,其项数为第9项或第10项.