Question

设函数其中，曲线在点处的切线方程为．
（I）确定的值；
（II）设曲线在点处的切线都过点（0,2）．证明：当时，；
（III）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．

Answer 1

（I），；（II）详见试题解析；（III）的取值范围是．

解析试题分析：（I）根据导数的几何意义，首先对函数求导，可得，由已知：曲线在点处的切线方程为，从而可得的值及，又，故得；（II）先利用导数的几何意义，求出在点处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简即得满足的方程为，下面利用反证法明当时，；（III）由（II）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．构造函数，利用导数求函数的极大值、极小值，只要的极大值与极小值异号即可，解这个不等式组即可求得的取值范围．
试题解析：（I）由又由曲线处的切线方程为，得故
（II）处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简得，即满足的方程为．
下面用反证法证明：假设处的切线都过点，则下列等式成立．

由（3）得
又，故由（4）得，此时与矛盾，．
（III）由（II）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．
设，则，由于，故有

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