题目内容

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，
及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f（x）与时间x（小时）的关系可近似地表示
为：f（x）= $数学公式$ ，只有当污染河道水中碱的浓度不低于 $数学公式$ 时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到 $数学公式$ 时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g（x），求g（x）的函数式及水中碱浓度的最大值．（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）

解：（1）由题意知 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4
能够维持有效的抑制作用的时间：4-1=3小时．
（2）由（1）知，x=4时第二次投入1单位固体碱，显然g（x）的定义域为4≤x≤10
当4≤x≤6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，
故g（x）=（1- $\text{[math]}$ ）+[2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ ；
当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故
当6＜x≤7时，
g（x）=2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当7＜x≤10时，g（x）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
所以g（x）= $\text{[math]}$
当4≤x≤6时，g（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当且仅当 $\text{[math]}$ 时取“=”，即x=1+3 $\text{[math]}$ （函数值与自变量值各1分）
当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
当6＜x≤7时，
g′（x）= $\text{[math]}$ ，所以g（x）为增函数；
当7＜x≤10时，g（x）为减函数；故 g（x）_max=g（7）= $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
所以当x=1+3 $\text{[math]}$ 时，水中碱浓度的最大值为 $\text{[math]}$ ．
答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放1+3 $\text{[math]}$ 小时后，水中碱浓度的达到最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用分段函数解析式，分别列出不等式，解之，即可求得x的范围，从而可得能够维持有效抑制作用的时间；
（2）确定第二次投放后水中碱浓度g（x）的解析式，再分段利用导数或基本不等式研究其单调性，即可求得最大值．
点评：本题考查分段函数，不等式，函数的单调性，考查利用基本不等式求函数的最值，确定函数的解析式是关键．