Question

【题目】已知抛物线（）的焦点，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见详解.

【解析】

（1）根据焦点坐标，即可求得以及抛物线方程；

（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，结合直线，的斜率之积为，找到直线之间的等量关系，从而证明问题.

（1）因为抛物线（）的焦点坐标为，

所以，即.

所以抛物线的方程为.

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，

设，.

因为直线，的斜率之积为，

所以，化简得.

所以，，

此时直线的方程为.

②当直线的斜率存在时，

设其方程为，，，

联立方程组，消去得.

由根与系数的关系得，

因为直线，的斜率之积为，

所以，即.

即，

解得（舍去）或.

所以，即，

所以即

综合①②可知，直线过定点.