Question

6．已知${log_a}b=-1，\;{2^a}＞3，\;c＞1$，设$x=-{log_b}\sqrt{a}$，y=log_bc，$z=\frac{1}{3}a$，则x，y，z的大小关系正确的是（　　）

• A． z＞x＞y
• B． z＞y＞x
• C． x＞y＞z
• D． x＞z＞y

Answer 1

分析 ${log_a}b=-1，\;{2^a}＞3，\;c＞1$，可得$x=-{log_b}\sqrt{a}$=-$\frac{1}{2}$log_ba=$\frac{1}{2}$．2^a＞3，a＞log₂3＞1，$b=\frac{1}{a}$∈（0，1）．进而得出结论．

解答 解：∵${log_a}b=-1，\;{2^a}＞3，\;c＞1$，
∴$x=-{log_b}\sqrt{a}$=-$\frac{1}{2}$log_ba=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{-1}$=$\frac{1}{2}$，
2^a＞3，a＞log₂3＞1，$b=\frac{1}{a}$∈（0，1）．
y=log_bc＜0，$z=\frac{1}{3}a$＞$\frac{1}{3}lo{g}_{2}3$＞$\frac{1}{3}×lo{g}_{2}\sqrt{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴z＞x＞y．
故选：A．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．