Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$cosA=\frac{3}{5}$，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值；
（Ⅱ）若b=2，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解A的正弦函数值，利用三角形的面积求出bc，然后求解$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值；
（Ⅱ）利用余弦定理化简求解即可．

解答 解：（I）∵在△ABC中，由$cosA=\frac{3}{5}$解得 $sinA=\frac{4}{5}$…（2分）
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{2}{5}bc=4$，解得bc=10…（4分）
所以$\overrightarrow{AB•}\overrightarrow{AC}=bccosA=10×\frac{3}{5}=6$…（7分）
（II）由b=2，bc=10得c=5…（9分）
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=4+25-12=17，
即$a=\sqrt{17}$…（12分）

点评 本题考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查计算能力．