Question

已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则

x2+y2+2x-2y+2

xy-x+y-1

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,直线与圆

分析：把原式化简可得

x+1

y-1

+

y-1

x+1

，利用可行域和斜率计算公式可得

y-1

x+1

的取值范围，再利用导数即可得出最大值．

解答： 解：由x，y满足2≤y≤4-x，x≥1，
画出可行域如图所示．
则A（2，2），B（1，3）．

x2+y2+2x-2y+2

xy-x+y-1

=

(x+1)2+(y-1)2

(x+1)(y-1)

=

x+1

y-1

+

y-1

x+1

，
令k=

y-1

x+1

，
则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（-1，1）的斜率．
而k_PA=

2-1

2-(-1)

=

1

3

，kPB=

3-1

1-(-1)

=1，
∴

1

3

≤k≤1，
令f（k）=k+

1

k

，
则f′(k)=1-

1

k2

=

k2-1

k2

≤0．
∴函数f（k）单调递减，因此当k=

1

3

时，f（k）取得最大值，f(

1

3

)=

1

3

+3=

10

3

．
故答案为：

10

3

．

点评：本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．