Question

设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=，试求T_n的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=1代入递推公式（a_n+3）可求a₁的值
（2）由，可得
两式相减结合a_n＞0的条件整理可得a_n-a_n-1=2，从而利用等差数列的通项公式求出a_n
（3）由（2）中求出S_n，代入求b_n=，利用裂项求和求出T_n
解答：解：（1）由a₁=S₁=，及a_n＞0，得a₁=3

（2）由
得．∴当n≥2时，

∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴由（1）知，{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1．

（3）由（2）知S_n=n（n+2）∴，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
=
点评：本题主要考查由和s_n求a_n，运用公式可转化得数列项之间的递推关系；在数列的求和方法中裂项求和一直是考查的热点和重点之一，在运用裂项时，两项相错k时，裂项后乘．