Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项的和为S_n，并且对于所有的自然数n，存在正数t，使a_n与t的等差中项等于S_n与t的等比中项．
（1）求 {a_n}的通项公式；
（2）若n=3时，S_n-2t•a_n取得最小值，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a_n与t的等差中项等于S_n与t的等比中项建立等式关系，然后根据递推关系可得{a_n}是以t为首项，2t为公差的等差数列，从而求出通项公式；
（2）求出S_n，根据n=3时，S_n-2t•a_n取得最小值可设f（x）=tx²-4t²x+2t²，当x取3 时有最大值，可得对称轴的范围，从而求出t的取值范围．

解答：解：（1）由题意：

t+an

2

=

tSn

即2

tSn

=t+an
当n=1时，2

ta1

=t+a1=t+a1，∴(

a1

-

t

)2=0，a1=t…..（3分）
当n≥2时，2

tSn

=t+an∴4tSn=t2+2tan+an2①4tS_n-1=t²+2ta_n-1+a_n-1²②
①-②得4ta_n=2ta_n-2ta_n-1+（a_n²-a_n-1²）2t（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=2t∴{a_n}是以t为首项，2t为公差的等差数列，a_n=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴S_n=tn²，an+t=2

tSn

=2nt，∴a_n=（2n-1）tS_n-2t•a_n=tn²-（2n-1）•2t²=tn²-4t²n+2t²，
设f（x）=tx²-4t²x+2t²，∵当x取3 时有最大值，对称轴

4t2

2t

=2t∈[

5

2

，

7

2

]∴t∈[

5

4

，

7

4

]…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及函数特性，同时考查了计算能力，属于中档题．