Question

4．已知函数f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正切函数的定义域，正弦函数的周期性，求得该函数的定义域与最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$=4tanx•cosx•cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$
=4sinxcos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$=sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，再根据tanx有意义可得x≠kπ+$\frac{π}{2}$，故函数的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
再根据x在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，可得f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的单调增区间为[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正切函数的定义域，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．