题目内容
已知直线l：x=my+1过椭圆C：
+
=1的右焦点F，抛物线x2=4
y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x=4上的射影依次为点D，K，E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且
=λ1
，
=λ2
，当m变化时，证明：λ1+λ2=-
；
（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
| 8 |
| 3 |
（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．
分析：（1）由题设条件能够求出c、b=，从而求出椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合
=λ1
，
=λ2
，即可证得结论；
（3）由题设条件证明点N（
，0）在既直线AE上，又在直线BD上，即可得到结论．
（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
（3）由题设条件证明点N（
| 5 |
| 2 |
解答：（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线x2=4
y的焦点坐标（0，
），∴b=
∴b2=3
∴a2=b2+c2=4
∴椭圆C：
+
=1…（3分）
（2）证明：由题意，m≠0，M(0，-
)，设A（x1，y1），B（x2，y2）
由
⇒(3m2+4)y2+6my-9=0，∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0
∴y1+y2=-
，y1•y2=-
…（6分）
又由
=λ1
，
=λ2
得：λ1=-1-
，λ2=-1-
∴λ1+λ2=-2-
•
=-
…（8分）
（3）解：m=0时，得N（
，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（
，0），
由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是 D（4，y1），E（4，y2），
先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：y-y2=
(x-4)
当x=
时y=y2+
(
-4)=
=
=0
所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．
即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（
，0）…（13分）
抛物线x2=4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴b2=3
∴a2=b2+c2=4
∴椭圆C：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）证明：由题意，m≠0，M(0，-
| 1 |
| m |
由
|
∴y1+y2=-
| 6m |
| 3m2+4 |
| 9 |
| 3m2+4 |
又由
| MA |
| AF |
| MB |
| BF |
| 1 |
| my1 |
| 1 |
| my2 |
∴λ1+λ2=-2-
| 1 |
| m |
| y1+y2 |
| y1•y2 |
| 8 |
| 3 |
（3）解：m=0时，得N（
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是 D（4，y1），E（4，y2），
先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：y-y2=
| y2-y1 |
| 4-x1 |
当x=
| 5 |
| 2 |
| y2-y1 |
| 4-x1 |
| 5 |
| 2 |
| 3(y2+y1)-2my1y2 |
| 2(4-x1) |
3×
| ||||
| 2(4-x1) |
所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．
即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（
| 5 |
| 2 |
点评：本题是椭圆的综合应用题，有一定的难度．考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线和直线之间的关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力．
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