题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（1）是否存在实数λ，使数列 $数学公式$ 为等差数列？并说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求证： $数学公式$ ．

（1）解：假设存在一个实数λ符合题意，则 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 必为与n无关的常数
∵ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
要使 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 是与n无关的常数，则1+λ=0，∴λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{ $\text{[math]}$ }为首项为2，公差为1的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =n+1，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ +n
令 $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ ②
②-①可得 $\text{[math]}$ +（n+1）×2ⁿ⁺¹=-2- $\text{[math]}$ +（n+1）×2ⁿ⁺¹=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n
（3）证明：当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ≥n+2
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）假设存在一个实数λ符合题意，则 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 必为与n无关的常数，由此可求实数λ的值；
（2）由（1）知，数列{ $\text{[math]}$ }为首项为2，公差为1的等差数列，从而可得数列{a_n}的通项，利用错位相减法可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ≥n+2，从而可得S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，取倒数，放缩再裂项求和，即可证得结论．
点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和是关键．