题目内容

甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是 $数学公式$ ，乙班三名同学答对的概率分别是 $数学公式$ ，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．

解：（1）随机变量X的可能取值是0，10，20，30，且
P（X=0）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，P（X=10）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
P（X=20）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，P（X=30）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$
所以，X的概率分布为

X	0	10	20	30
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

…3分
随机变量X的数学期望E（X）=0× $\text{[math]}$ +10× $\text{[math]}$ +20× $\text{[math]}$ +30× $\text{[math]}$ =20．…5分
（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²（1- $\text{[math]}$ ）×[ $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）+（1- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）+（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ ；
甲班得30分，且乙得班0分的概率是：
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）³×（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
所以事件A，B同时发生的概率为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．　　 …10分
分析：（1）确定随机变量X的可能取值，求出相应的概率，即可求得随机变量X的概率分布列和数学期望；
（2）分别求得事件A，B的概率，利用互斥事件的概率公式，可得结论．
点评：本题考查互斥事件概率公式的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．