Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）如果将f（x）的图象向左平移θ个单位（其中θ∈（0，

π

2

），就得到函数g（x）g（x）的图象，已知g（x）是偶函数，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，先确定周期得ω的值，在确定振幅得A的值，最后利用代入法求得φ值即可；
（2）利用正弦曲线的单调性，将内层函数看做整体解不等式即可得函数的单调区间；
（3）先求得函数g（x）的解析式，利用正弦曲线的对称性得其对称轴方程，从而建立θ角的方程，再利用其范围确定θ的值即可

解答：解：（1）设f（x）的周期为T，由已知，

T

2

=

π

2

，即T=π，所以ω=2
∵图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2），∴A=2
且2×

2π

3

+φ=

3π

2

+2kπ，k∈Z，即φ=

π

6

+2kπ，k∈Z
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
故所求单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（3）g（x）=f（x+θ）=2sin（2x+2θ+

π

6

）
∵g（x）是偶函数，∴2θ+

π

6

=

π

2

+kπ，
∴θ=

1

2

kπ+

π

6

∵θ∈（0，

π

2

），∴θ=

π

6

点评：本题主要考查了f（x）=Asin（ωx+φ）型函数解析式的求法，f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用正弦曲线的图象和性质求函数的单调区间、对称轴的方法