Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N⁺），则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅的值为$-\frac{1765}{3}$．

Answer 1

分析 由已知求出数列前几项，可以发现数列是以4为周期的周期数列，由此求得a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅的值．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得${a}_{2}=\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}=\frac{1+2}{1-2}=-3$，
${a}_{3}=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$，${a}_{5}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=2$，
由上可知，数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
且${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=2-3-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$-\frac{7}{6}$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=503×$（-\frac{7}{6}）$+2-3-$\frac{1}{2}$=$-\frac{1765}{3}$．
故答案为：$-\frac{1765}{3}$．

点评 本题考查了数列递推式，关键是对数列周期性的发现，是中档题．