Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）一个周期内的一系列对应值如表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$
y	1	$\frac{1}{2}$	0	-1

（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$sin2x的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由表可求周期T=π，由周期公式可求ω，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，即可求φ，从而可得函数的解析式．
（2）先由三角函数恒等变换求解析式g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得函数g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$sin2x的单调递增区间．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（$\frac{π}{2}$-0）=π．
所以ω=$\frac{2π}{π}$=2，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=$\frac{π}{2}$．
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x…6分
（2）g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$sin2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z则得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
故函数g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$sin2x的单调递增区间是：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．