Question

13．设数列{a_n}的n项和为S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}为等差数列，则{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 令b_n=nS_n+（n+2）a_n，由已知得b₁=4，b₂=8，从而b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n，进一步得到{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．

解答 解：设b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a₂=1，
∴b₁=4，b₂=8，
∴b_n=b₁+（n-1）×（8-4）=4n，
即b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n
当n≥2时，S_n-S_n-1+（1+$\frac{2}{n}$）a_n-（1+$\frac{2}{n-1}$）a_n-1=0
∴$\frac{2（n+1）}{n}{a}_{n}$=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
即2•$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以$\frac{1}{2}$为公比，1为首项的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用，是中档题．