题目内容
已知函数f（x）=x|x+a|-
lnx，若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
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考点：函数恒成立问题
专题：不等式的解法及应用
分析：将不等式进行转换，利用参数分离法，利用函数的最值和导数之间的关系即可得到结论．
解答：
解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）＞0，
得|x+a|＞
，
①当0＜x＜1，|x+a|≥0，
＜0，不等式恒成立，∴a∈R
②当x=1时，|1+a|≥0，
=0，此时a≠-1，
③当x＞1时，不等式等价为a＞-x+
或a＜-x-
恒成立，
设g（x）=-x+
，则g′(x)=-1+
=-1+
=
，
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴此时a≥-1．
设h（x）=-x-
，则h′(x)=-1-
=-1-
=
，
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴此时g（x）取最小值．
综上a＞-1．
即a的取值范围是（-1，+∞）．
得|x+a|＞
| lnx |
| 2x |
①当0＜x＜1，|x+a|≥0，
| lnx |
| 2x |
②当x=1时，|1+a|≥0，
| lnx |
| 2x |
③当x＞1时，不等式等价为a＞-x+
| lnx |
| 2x |
| lnx |
| 2x |
设g（x）=-x+
| lnx |
| 2x |
| ||
| 4x2 |
| 1-lnx |
| 2x2 |
| 1-lnx-2x2 |
| 2x2 |
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴此时a≥-1．
设h（x）=-x-
| lnx |
| 2x |
| ||
| 4x2 |
| 1-lnx |
| 2x2 |
| -2x2-1+lnx |
| 2x2 |
当x＞1时，g'（x）＜0，即函数g（x）在x≥1上单调递减，
∴此时g（x）取最小值．
综上a＞-1．
即a的取值范围是（-1，+∞）．
点评：本题主要考查不等式恒成立的解法，利用参数分离法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度比较大．
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