题目内容
14．已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{4}}{8}{a}^{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{13}}{32}{a}^{2}$ |
分析 先求出底面正三角形的面积，再由过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为$\frac{1}{2}$，能求出过各侧棱中点的截面的面积．
解答 解：∵三棱锥的底面是边长为a的正三角形，
∴棱锥的底面面积S=$\frac{1}{2}×a×a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$2，
∵过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴过各侧棱中点的截面的面积S′=$（\frac{1}{2}）^{2}S$=$\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$．
故选：C．
点评 本题考查三棱锥中过各侧棱中点的截面的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意过各侧棱中点的截面与底面相似，由此利用面积比等于相似比的平方合理求解．
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