Question

20．已知中心在原点的椭圆E的左焦点F（-$\sqrt{3}$，0），右顶点A（2，0），抛物线C焦点为A．
（1）求椭圆E与抛物线C的标准方程；
（2）若过（0，1）的直线 l 与抛物线C有且只有一个交点，求直线 l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²．可得椭圆标准方程．由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}$=2，解得p，可得抛物线的标准方程．
（2）①直线l的斜率不存在时，取x=0，与抛物线有且仅有一个交点（0，0）．
②直线l的方程为：y=kx+1，k=0满足直线 l 与抛物线C有且只有一个交点（$\frac{1}{8}$，1）．k≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：k²x²+（2k-8）x+1=0，△=0，解得k，即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1．
∴椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}$=2，解得p=4，抛物线的标准方程为：y²=8x．
（2）①直线l的斜率不存在时，取x=0，与抛物线有且仅有一个交点（0，0）．
②直线l的方程为：y=kx+1，
k=0满足直线 l 与抛物线C有且只有一个交点（$\frac{1}{8}$，1），此时直线l的方程为：y=1．
k≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：k²x²+（2k-8）x+1=0，△=（2k-8）²-4k²=0，解得k=2．直线l的方程为：y=2x+1．
综上可得直线l的方程为：x=0，y=1，或y=2x+1．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．