题目内容

10．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E．
（ⅰ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△PQE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

分析 （Ⅰ）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；
（Ⅱ）（ⅰ）设出点P的坐标，求出直线PQ的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线PE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；
（ⅱ） 利用弦长公式求出弦PQ的长度，再求点E到直线PQ的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．

解答 解：（I）如图所示，由题意可得：xP=3时，△PFS是等边三角形，|PF|=3+$\frac{p}{2}$，
∴3-$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$$（3+\frac{p}{2}）$，解得p=2．∴抛物线C的方程为：y2=4x．
（II）（i）证明：设P（x1，y1），${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，
∵|FP|=|FS|=x1+1，
∴S（x1+2，0），
∴kPQ=-$\frac{{y}_{1}}{2}$．
由直线l1∥l可设直线l1方程为y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{1}}{2}x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得${y}_{1}{y}^{2}$+8y-8m=0  ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
这时方程①的解为y=-$\frac{4}{{y}_{1}}$，代入y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+m，
得x=m2，∴E（m2，2m）．
点P的坐标可化为$（\frac{1}{{m}^{2}}，-\frac{2}{m}）$，直线PE方程为y-2m=$\frac{-\frac{2}{m}-2m}{\frac{1}{{m}^{2}}-{m}^{2}}$（x-m2），
即y-2m=$\frac{2m}{{m}^{2}-1}$（x-m2），
令y=0，可得x=1，
∴直线AE过定点（1，0）．
（ⅱ）设Q（x2，y2）．
直线PQ的方程为$y-{y}_{1}=-\frac{{y}_{1}}{2}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，即x=-$\frac{2}{{y}_{1}}y$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$+2．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{{y}_{1}}y+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得y2+$\frac{8}{{y}_{1}}$y-$（{y}_{1}^{2}+8）$=0，
∴y1+y2=-$\frac{8}{{y}_{1}}$，y1y2=-$（{y}_{1}^{2}+8）$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$|y1-y2|=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}$$|2{y}_{1}+\frac{8}{{y}_{1}}|$．
∴E$（\frac{4}{{y}_{1}^{2}}，-\frac{4}{{y}_{1}}）$，
点E到直线PQ的距离为：d=$\frac{|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}-\frac{8}{{y}_{1}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-2|}{\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}}$=$\frac{|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2|}{\sqrt{1+\frac{4}{{y}_{1}^{2}}}}$，
∴△ABE的面积S=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$|{y}_{1}+\frac{4}{{y}_{1}}|•$$|\frac{4}{{y}_{1}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+2|$≥$2\sqrt{{y}_{1}•\frac{4}{{y}_{1}}}$$•（2\sqrt{\frac{2}{{y}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{2}}）^{2}$=16，
当且仅当y1=±2时等号成立，
∴△ABE的面积最小值为16．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、直线与抛物线相切切线问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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